一、现象：看起来很圆，量起来不圆

在一次曲线轮廓的验收里出现过很典型的一组现象：沿外轮廓目视，能看到极细的棱面，但只有在特定光线下才明显；用接触式测头沿轮廓打点，偏差分布很有规律——直线段附近几乎为零，曲率最大的地方最大，而且曲率半径越小，偏差增长得越快。

第一反应通常是"点位太少"，于是把离散步长缩小一半，重新走一遍。棱面确实细了，但测出来的偏差并没有按预期下降，同时还出现了两个新问题：速度不稳，某些区段在一顿一顿地前进；在曲率变化的位置有过冲，实际轮廓比原曲线还要胖出去一点。

"加密之后没变好"这件事本身就说明：原来那个偏差，不完全是点位密度造成的。要分清这两件事，得先停止用眼睛判断"圆不圆"，换成一个能算的量。

二、把"圆不圆"换成一个可算的量

曲线被拆成折线之后，每两个相邻点之间是一条直线，这条直线与原曲线之间必然夹着一块弓形。这块弓形最厚处的厚度，就是弦高（sagitta）。它是"离散化"这件事唯一的几何误差来源，而且只用两个量就能表达：弦长（也就是步长）L 与曲率半径 R。

弦高近似式（L ≪ R 时成立）：

    h ≈ L² / (8R)

反解，给定容差 h_max 时允许的最大步长：

    L_max ≈ √(8 · R · h_max)

代入几组数看一看量级。半径 20 mm 的弧，步长 1 mm 时弦高约 0.006 mm；步长加倍到 2 mm，弦高变成 0.025 mm，是原来的四倍；步长减半到 0.5 mm，弦高只有 0.0016 mm。这就是"加密有效"的来源——弦高与步长的平方成正比。

同一个式子还给出另一半信息：弦高与曲率半径成反比。半径缩小一半，同样步长下误差翻倍。曲率越小（弯得越急）的地方，越经不起相同的点位密度。这一半，正是"等步长离散"失败的原因。

判断轮廓够不够圆，可以用的判据不止一个，但只有一个是几何量：

判据	测什么	能否作为验收依据
目视棱面	反光带宽度、棱面数量	不能。依赖光照角度与观察距离，同一件换个光就"变好了"
弦高 h	折线与原曲线的最大间距	能。由 L、R 直接算出，可直接与容差比大小
切向连续性	相邻两段在接缝处的方向突变	能，但它管的是速度能否连续、表面是否留下接刀痕，与 h 不是同一件事

三者里，只有弦高能在规划阶段就判死：只要知道 R，就知道这个步长会带来多少误差。目视判不了，切向连续性要到执行阶段才看得出来。

容差本身也不是随便定的。它通常来自三个地方：下游装配间隙的最小值、后续工序（打磨、镀层、贴合）能吸收掉的量、以及测量手段自身的分辨力。三者中最小的那个决定上限；再按"单项误差不超过总预算三分之一"的原则分配，弦高这一项的目标就很清楚了。反过来说，如果没人能说出容差是从哪里来的，那么"要不要加密"这个问题在工程上就是无解的——它退化成了审美问题，而审美无法验收。

三、等步长的错：误差跟着曲率跑

一张典型轮廓上，直线、缓弧、尖角是同时存在的。假设某零件轮廓里有直线段、半径 80 mm 的缓弧、半径 5 mm 的过渡圆角，统一按 0.5 mm 步长离散，代入弦高式：

区段	曲率半径 R	步长 L	弦高 h	判断
直线段	∞	0.5 mm	0	不产生误差，点位纯浪费
缓弧	80 mm	0.5 mm	0.0004 mm	远优于容差，可放粗到 1.8 mm
过渡圆角	5 mm	0.5 mm	0.0063 mm	若容差 0.005 mm，此处超标

结果很讽刺：同一张图上，有的地方点位过剩三四倍，有的地方不够用。而如果容差是 0.005 mm，正确的最大步长应当按区段分别算：

按 h_max = 0.005 mm 反解各区段允许的最大步长：

    R = 5 mm   →  L_max ≈ √(8 × 5  × 0.005) ≈ 0.45 mm
    R = 20 mm  →  L_max ≈ √(8 × 20 × 0.005) ≈ 0.89 mm
    R = 80 mm  →  L_max ≈ √(8 × 80 × 0.005) ≈ 1.79 mm

同样一条容差，允许的步长在 4 倍范围内变化。所以正确做法不是"平均分配点位"，而是按曲率分配：容差是需求，点数是结果。反过来操作——先规定点数，再看误差——就是把需求交给工具去猜。

四、加密点位不等于提高精度

这是整件事里最贵的一条，因为"加密"看起来永远安全，实际有三个硬边界。

边界一：段太短，速度规划失效。每一段都要走"加速—匀速—减速"的过程，从静止达到设定速度 v 所需距离约为 v²/(2a)，a 为加速度上限。设 v = 60 mm/s、a = 500 mm/s²，则这个距离约 3.6 mm。如果段长被压到 0.2 mm，整段都落在加减速过程里，设定速度一次也达不到——实际表现就是平均速度被拉低，加上每段重复一次"加速再减速"，走出一种一顿一顿的节奏。表面质量反而变差。

边界二：指令吞吐到顶。0.2 mm 段长配 60 mm/s，等于每秒 300 段。每段一条运动指令，按 40 字节估，就是每秒 12 kB；而常见的 115200 bps 串口理论吞吐只有约 11.5 kB/s——已经打满。任何一次重传或握手延迟，都会变成可见的停顿。这类停顿常被误判成"机械卡了一下"。

边界三：插补与采样负载上升。段数变多，每段内的插补次数减少，段末速度更容易不连续；同时采样服务被更频繁地打断，负载率上升。这条与前面那篇讲寻边误差的文章是同一个根：负载率是时间预算，不是"性能够不够"的定性问题。

这三条红线都不是"精度"指标，而是"能不能稳定跑"的指标。先把它们算出来，再谈容差要不要收紧，顺序就不会错。

段数可以直接估：总路径长度除以平均步长。一条 800 mm 的轮廓，按 0.5 mm 步长是 1600 段，按 0.2 mm 是 4000 段。这个数字应当先算出来再决定要不要加密——因为它同时等于通讯帧数、插补次数和速度规划次数。把它当"预算"看，比当"精度"看更接近真相。

五、四条手段，按性价比排序

除了这四条，还有一个几乎零成本的健康指标：统计超短段的比例。把"段长小于红线的段数 ÷ 总段数"打进日志，超过一定比例（例如 5%）就提示"这份轨迹的点位分配有问题"。它能在加工之前就告警，比事后量废件便宜得多。

六、一个容易忽略的细节：离散化发生在哪个坐标系

弦高是一个长度量，所以它对平移与旋转不敏感，但对缩放敏感。如果规划端与执行端之间存在比例换算（缩放系数 s），那么规划阶段按容差算出来的步长，到了执行端产生的实际弦高是 s·h——因为 L 和 R 同时被缩放了 s 倍，而 h = L²/(8R) 里 L² 与 R 只抵消掉一个 s。

这个坑很隐蔽：显示坐标里算得严丝合缝（0.005 mm 容差、0.45 mm 步长），执行端却按放大或缩小后的尺度走，误差要么超标要么浪费。判断方法很直接：把同一段 R = 20 的弧用两个坐标口径各算一次最大步长，若两次结果之比不等于 1，就存在没被计入的缩放。